Consigne: Soit $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1/2&3/2&-1/2\\ -1/2&1/2&3/2\end{pmatrix}\in M_3({\Bbb R})$$ et \(f\) l'endomorphisme linéaire de \({\Bbb R}^3\) ayant pour matrice \(A\) dans la base canonique \(\varepsilon\) de \({\Bbb R}^3\). On a \(P_A(\lambda)=-(\lambda-1)^2(\lambda-2)\)
Dans la base \(\varepsilon^\prime=(u,v,w)=\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\right)\), on a $$\operatorname{Mat}(f,\varepsilon^\prime)=\begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}$$
Soit \(g\in\mathcal L({\Bbb R}^3)\) un endomorphisme tel que \(f\circ g=g\circ f\)
Montrer que \(\ker(f-2\operatorname{Id})\) et \(\ker(f-\operatorname{Id})^2\) sont laissés stables par \(g\)
En déduire que la matrice de \(g\) dans \(\varepsilon^\prime\) est de la forme $$\operatorname{Mat}(g,\varepsilon^\prime)=\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\ 0&a&b\\ 0&c&d\end{pmatrix}$$ avec \(\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\). Préciser les valeurs possibles de \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\)
\(\ker(f-2\operatorname{Id})\) est laissé stable par \(g\) On sait que \(f\circ g=g\circ f\)
Si \(u\in\ker(f-2\operatorname{Id})\), alors \(f(u)=2u\)
Donc $$f(g(u))=g(f(u))=g(2u)=2g(u)$$ donc \(g(u)\in\ker(f-2\operatorname{Id})\) $$g(\ker(f-2\operatorname{Id}))\subset\ker(f-2\operatorname{Id})$$ donc \(g\) laisse stable \(\ker(f-2\operatorname{Id})\)
Les puissances commutent aussi \((g\circ f^2=f^2\circ g)\) Comme \(g\circ f=f\circ g\), on a $$g\circ f^2=g\circ f\circ f=f\circ g\circ f=f\circ f\circ g=f^2\circ g$$
Exprimer \((f-\operatorname{Id})^2\) comme un "polynôme" de \(f\) \(\to\) \(\ker(f-\operatorname{Id})^2\) est stable par \(g\) Si \(v\in\ker(A-\operatorname{Id})^2\), alors \((f-\operatorname{Id})^2(v)=0=(f^2-2f+\operatorname{Id})(v)\)
Donc $$(f-\operatorname{Id})^2(g(v))=(f^2-2f+\operatorname{Id})(g(v))=g((f^2-2f+\operatorname{Id})(v))=g(0)=0$$
Donc \(g(v)\in\ker(f-\operatorname{Id})^2\) donc \(g(\ker(f-\operatorname{Id})^2)\subset\ker(f-\operatorname{Id})^2\)
\(g\) laisse stables des espaces vectoriels de dimension \(1\) et \(2\) \(\to\) combinaisons linéaires Comme \(g\) laisse stable \(\ker (f-2\operatorname{Id})=\operatorname{Vect}(u)\), il existe \(\lambda\) tel que $$g(u)=\lambda u$$
Comme \(g\) laisse stable \(\ker(f-\operatorname{Id})^2=\operatorname{Vect}(v,w)\) : $$\begin{align} g(v)&=av+cw&(\exists a,c)\\ g(w)&=bv+dw&(\exists b,d)\end{align}$$
Réécriture des égalités précédentes sous forme de matrice Donc $$\operatorname{Mat}_{\varepsilon^\prime}=\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\ 0&a&b\\ 0&c&d\end{pmatrix}$$
Commutativité des fonctions linéaires \(\iff\) commutativité des matrices (diagonales par blocs) \(\to\) commutativité des blocs Comme \(f\circ g=g\circ f\) : dans \(\varepsilon^\prime\) $$\left(\begin{array}{c|cc}2&0&0\\ \hline0&1&1\\ 0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c|cc}\lambda&0&0\\ \hline0&a&b\\ 0&c&d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|cc}2&0&0\\ \hline0&1&1\\ 0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c|cc}\lambda&0&0\\ \hline0&a&b\\ 0&c&d\end{array}\right)$$ donc \(\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\)
Trouver les valeurs de \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) tq les matrices commutent
$$\begin{align}\iff&\begin{pmatrix} a+c&b+d\\ c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a&a+b\\ c&c+d\end{pmatrix}\\ \iff&\begin{cases} c=0\\ a=d\end{cases}\end{align}$$ donc $$g:\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\ 0&a&b\\ 0&0&a\end{pmatrix}$$